摘要： 由于解析几何的学科特点，使我们在解析几何的学习过程中往往特别
强调用代数方法解决几何问题的重要性，而忽视几何图形解决问题的
优越性，尤其忽视解析几何中的图形在其它数学分支的作用。其实，
同时强调问题的两个方面的重要性更有利于提高综合运用知识的能力。
华罗庚大师曾说： “数缺形时少直观，形缺数时难入微”. 这可谓是对数形结合思想的精辟论述。
在解决数学问题时，有意识地将数的问题从“形”的角度去观察、分析和解决；而对形的问题则借助“数”的理论去处理，这种“形”“数”相互转化利用的解决问题的策略，就叫“数形结合的思想方法”。
在解析几何中我们充分强调了用代数方法解决几何问题的解析法，它解决了许多仅靠图形无法精确讨论的问题，显示了“数”的巨大威力。同时也看到许多问题从“形”的角度去思考，找到了不少直观简捷的解题方案，展现了“形”的无穷魅力。
其实，若能有意识的开发和利用解析几何中的“形”，我们会发现它在方程、不等式、函数、三角、复数、数列等代数分支中也有不俗的表现，它往往比用纯代数理论进行的抽象的推算要简捷明朗得多。本文就想从常见的几个方面说明一下解析几何中“形”的开发和
利用问题。
一、解方程（组）时可联想曲线的交点
例1． 实数m为何值时方程 sin2x –sinx + m = 0 有两解、
一解、无解 ？
分析： 原方程转化成函数式 m = - sin2x + sinx
再令t = sinx 则m = - t 2 + t ，后又
联想“抛物线弧段y = - t 2 + t 与直线 y=m 的交点的个数”
即得： 时方程有两个不同的实数解
或m=1/4 时方程有唯一的的实数解
m< -2或m>1/4 时方程无解
说明：本题是三角方程的解的讨论问题，通过联想“形”使方程问题转化为两个图形的交点的个数问题，简单明了。
例2．复数z满足 求 复数 z
分析：联想“形”
表示中心在原点、焦点为A(-3,0)、 B(3,0)
长轴长为10的椭圆。
而 则表示中心在原点、焦点为C(0,5) 、D(0,-5)，
实轴长为8的双曲线的下支。
那么复数 z 即上述两曲线（椭圆和双曲线下支）的交点 Z 对应的复数，
图示 可知 交点P(0,-4) ， 故 复数z = - 4i
说明：本题是复数方程，若设 z = x + yi 解复数方程， 计算量将会很大。
而通过联想 “形”转化为两曲线交点问题，一目了然，轻松过关。
二、证不等式时 注意 “望 式 生 形 ”
分析：联想“形”，将
看成动点 之间的距离不小于 ，
而点P在 定圆 x2 + y2=2上,
点Q 在定双曲线 xy = 9 (反比例函数的图象) 上。
由图示显然可知 动点P与Q间的距离的最小值为2 。不等式得证。
说明：本题通过联想“形”使一个不易证的三角不等式问题转化为两曲线上的动点的距离问题，直观简捷。
例2．
分析：联想“形”，将 –1 < < 1 看作两点 P(1, a)、 Q(- ab, - b)
的连线的斜率介于 -1 ，+1之间，
又A(- a , - 1) 、B(a ,1)与 P连线的斜率 KPA , KPB分别为 +1 , -1
而Q在A、B之间， 故KPB < KPQ < KPA ，则 本题就得证。
说明：本题通过联想，将证绝对值不等式问题转化成看共点的三直线的斜率大小问题。
三、解无理、二次不等式，常可从图（圆锥曲线和直线）上看出解。
例1 . 解不等式
分析： 联想左边为抛物线y2=2x+5在 x 轴上方的一段, 右边为直线y=x+1
而 的根为2 ， 两图的交点为A(2,3) ，那么，不等式的解, 即 直线在抛物线段下面的部分 对应的点的横坐标， 即
说明：本题通过联想基本曲线的图形，将解不等式问题转化成看两图的上下关系问题。
例2. 解不等式 [ 2003年高考（13）题 ]
分析： 联想左边为圆 (x-2)2+y2 = 4在 x 轴及上方的部分, 右边为直线y = x
而 的根为x=0 和x=2 ，所以 两图的交点为A(0,0)、B(2,2) ，那么，不等式的解即 直线在圆弧段上面的部分 对应的点的横坐标， 即
说明：本题通过联想基本曲线的图形，将解不等式问题转化成看两图的上下关系问题。
例3． a>0 解含参不等式 （2000年高考20题）
分析：联想“形”
左边为等轴双曲线 x2–y2 = -1 在 x轴上方的一支（其渐进线的斜率 - 1，+1）
右边为含参直线 y = a x + 1
画图易知
0<a<1时解集为
说明：本题通过联想 、画图迅速得到了解答，拓宽了解含参不等式解题思路。
四、求分式（根式）的最值，可试着联想斜率（距离）而得到解
例1．实数满足 x+y+1=0 ，求根式 的最小值
分析：将 “联想成直线x+y+1=0上点P(x,y) 到定点A(1,1)的
距离”。那么 的最小值， 即点A(1,1)到直线x+y+1=0的
距离 ， 即所求的最小值为
（本题将 y= -1- x代入 也可以）
说明：本题通过联系“形”使一个求最值问题转化成点线距离问题，减少了计算量。
例2 . 实数x , y满足 (x-2)2 + y2 = 3 求 的最大值.（90年高考题）
分析：联想 (x-2)2 + y2 =3即以C(2,0)为圆心,以 为半径的圆.
而x,y为圆上的点P的横、纵坐标， 那么，分式 =
即可看成 直线OP的斜率。由图知 其最大值为
说明：本题通过联想“形”使最值问题转化为圆的切线的斜率问题，形象直观，
简单易行。
例3． 实数x, y满足4x2 = 8 - y2
分析：联想4x2 = 8 - y2 即椭圆 ，而P(x,y)为椭圆上的任一点 P到两定点A(0,3)
B(2,1)的距离和， 又定点A(0,3) B(2,1)连线段与椭圆有交点（两个），
所以，所求的最小值即为A、B两点之间的距离
说明：本题通过联想“形”使一个繁琐的代数最值问题转化成简单的两个定点间
的距离问题，不仅找到了方法，拓宽了思路，而且体会到了数学的简捷美和
数形结合的优越性。
总之，有意识地用数形转化的思想和意识地去思考问题、分析并解决问题,
不仅可以拓宽思路、融会贯通，而且可以提升思维的深刻性、敏锐性和灵活性，
还有利于提高综合运用知识分析问题、解决问题的能力，更有利于形成“客观
事物都是普遍联系的、在一定的条件下可以互相转化的”的辨证唯物主义思想。
