和差倍问题
（一）和差问题
教学目标
1.会判断什么样的应用题属于和差问题．已知两个数的和以及两个数的差，要分别求这两个数就属和差问题，并掌握和差问题的特性，为以后继续学习和倍、差倍问题做准备．
2.总结归纳出解决和差问题的方法，并解决一些实际问题．
知识点拨：
和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。
为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。
知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析，方法如下：
方法一： (和+差)÷2=大数 和-大数=小数
方法二： (和-差)÷2=小数 和-小数=大数
例题精讲
板块一、基本的和差问题
【例1】两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？
【解析】本题也是和差问题的基本题型，借助线段图来分析如下：
方法一：把第二筐多的10千克减掉，看成两个第一筐的重量来计算．
列式：第一筐：
方法二：把第一筐少的10千克补上，看成两个第二筐的重量来计算．
列式：第二筐：
甲、乙两人同时以相同的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字．问甲、乙两人每分钟各打多少个？
【解析】首先要理解2分钟共打了240个字，那么甲、乙两人一分钟就打了
方法一：甲：
方法二：乙：
在研究完这两种方法以后，老师要注意引导学生来总结和差问题的解决方法．解答和差问题的应用题，可以先画出线段图，从线段图上找到大数和小数，并找到解决方法．
(两数的和－两数的差)÷2=较小的数 较小的数+两数的差=较大的数
(两数的和+两数的差)÷2=较大的数 较大的数－两数的差=较小的数
【巩固】果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？
【解析】方法一：桃树：
方法二：梨树：
答：桃树有140棵，梨树有120棵．
【巩固】有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米．每段各长多少米？
【解析】第一段：
答：第一段长5米，第二段长7米．
【巩固】陈红和李玲平均身高为130厘米，陈红比李玲高8厘米，陈红和李玲身高各是多少厘米？
【解析】陈红和李玲平均身高为130厘米，她们身高的和为：
方法一：陈红：
方法二：李玲：
【例2】文具王国的尺子点点和跳跳是一对好朋友，他们一会儿高兴地把自己绑在一起，一会儿又闹起小别扭，竖起小脑袋比比谁长的高，每天他们总是有使不完的劲儿．同学们！你能根据下面的图，算出点点和跳跳各有多长吗？
【解析】解决和差问题的应用题，首先学会画线段图是关键，在这里借助两把尺子来进行比较分析，比较直观和形象，然后再从直观的实物图过渡到抽象的线段图学生比较容易理解．此处是本节课的难点突破所在，对于方法的研究老师要引导学生来思考．
方法一：假设跳跳多4厘米，那么就和点点一样长，这时总长增长到了
方法二：假设点点少4厘米，那么就和跳跳一样长，这时总长就减少到了
列式：跳跳（小数）：
【巩固】二年级一班和二班共有85人，一班比二班多3人．问一班、二班各有多少人？
【解析】本题是和差问题的基本题型，已知两个数的和与两个数的差，然后求大小两个数各是多少．和差问题一般可以借助线段图来进行分析．
方法一：一班人数：
方法二：二班人数：
【巩固】两个连续奇数的和是36，这两个数分别是多少？
【解析】两个连续奇数的差是2,利用和差公式解答如下．
较小数：
【巩固】一辆公交车里有30位乘客，到大桥站有17人下车，又上来19人，现在车上和原来比，人多了还是少了，多（或少）几个人？
【解析】这道题有两种不同的思维方法．
方法一：先求出现在车上有多少人，再和原来车上30人进行比较，就知道人多了还是人少了，再用减法计算，就能求出多或少了几个人．
列式：现在车上人数：
现在车上比原来多几人？
方法二：聪明的学生会想到只要把下车和上车的人数进行比较，就知道答案了，因为下车17人，上车19人，上车的人比下车的多2人．这样原来车上的“30人”就是多余条件了．
列式：
答：现在车上人多了，多2人．
【例3】长方形操场的长与宽相差80米，沿操场跑一周是400米，求这个操场的长与宽是多少米？
【解析】长方形一周的长是指两条长和两条宽的和，由条件可知一条长与一条宽的和为
方法一：长：
方法二：宽：
【巩固】丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2分，那么丁丁语文和数学各得了多少分？
【解析】在这道题中，我们已知丁丁数学成绩比语文成绩多2分，也就是知道了数学成绩和语文成绩之差，如果找到数学成绩和语文成绩之和，就转换成和差问题来解答了．又因为知道了语文和数学的平均分是91分，那么两科成绩之和就是
方法一：数学：
方法二：语文：
【例4】学校水果店运来苹果和梨共40千克，苹果比梨多2袋，苹果和梨每袋都重5千克，则水果店运来苹果和梨各多少袋？
【解析】方法一：题目中知道了苹果比梨多2袋，如果能求出苹果和梨一共的袋数，就可以用和差问题来解决了．而题目中只告诉我们苹果和梨共40千克，不过还告诉我们苹果和梨每袋都重5千克，那么就可以求出苹果和梨一共有
方法二：部分学生可能根据题目中告诉的苹果和梨的总千克数，然后求出苹果比梨多
苹果比梨多：
苹果的重量：
梨的重量：
苹果的袋数：
梨的袋数：
两种方法相比较，第一种方法更简便、直观．
【巩固】有一种小虫，每隔2秒钟分裂一次．分裂后的2只新的小虫经过2秒钟后又会分裂．如果最初瓶中只有1只小虫，那么2秒后变2只，再过2秒后就变4只……2分钟后，正好满满一瓶小虫．现在这个瓶内最初放入2只这样的小虫．经过多长时间，正巧也是满满一瓶小虫?
【解析】如果刚开始瓶里有1只小虫，每隔2秒钟分裂一次，第一次就分裂成2个，第二次就分裂成4个……这样2分钟就正好有了满满一瓶小虫．如果瓶里开始就放有2只小虫，那么第一次就分裂成4个，和原来比少了1个分裂成两个的2秒，直接已经有了2个．这样如果瓶里有2只小虫，就会原来的时间少2秒，需要1分钟58秒就分裂成了满满一瓶小虫．
【例5】小勇家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多．小勇家养的白兔和黑兔各多少只？
【解析】解决这道题的关键就是理解“如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多”，这句话的意思也就是白兔的只数比黑兔的只数少4只，或黑兔的只数比白兔多4只．只要理解了这个已知条件，我们就可以把这个题转换成典型和差问题来解决了．
方法一：把黑兔多的4只减掉，看成两个白兔的数量来计算．
列式：白兔：
方法二：把白兔少的4只加上，看成两个黑兔的数量来计算．
列式：黑兔：
【巩固】图书馆的书架上、下两层共存书220本，如果从上层拿出10本放入下层，则两层书架上书数相等．求原来上、下层各存书多少本？
【解析】根据从上层拿出10本放入下层后两层书架上的书同样多，可以知道上层书架上的书比下层书架上的书多2个10本，如果从上层书架中减去
方法一：下层：
方法二：上层：
【例6】小华每天写8个大字，比小军每天多写2个．小华和小军一星期一共写多少个大字？
【解析】方法一：要知道小华和小军一星期一共写多少个大字，就要先求出小华和小军每天共写几个大字．小华每天写8个大字，比小军每天多写2个，可以算出小军每天写6个大字，他俩每天共写14个大字．“一星期有7天”这是个隐藏条件，这个条件也是解决问题的关键，因此要认真读题才能找到这个已知条件．最后我们就可以用乘法计算出小华和小军一星期一共写多少个大字．
列式：小华和小军每天共写多少个大字？
小华和小军一星期一共写多少个大字？
方法二：可以先分别求出小华一个星期写了多少个大字和小军一个星期写了多少个大字，然后把他们一共写的个数加起来．
列式：小华一星期写了多少个大字？
小军一星期一共写多少个大字？
小华和小军一星期一共写多少个大字？（个）
答：小华和小军一星期一共写98个大字．
【巩固】商店里每天卖出电脑10台，卖出的彩电比电脑多5台，一个星期商店卖出电脑和彩电一共多少台？
【解析】方法一：每天卖出电脑和彩电多少台？
一个星期商店卖出电脑和彩电一共多少台？
方法二：电脑一个星期共卖出多少台？
彩电一个星期共卖出多少台？
一个星期商店卖出电脑和彩电一共多少台？
答：一个星期商店卖出电脑和彩电一共175台．
【例7】甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，求两校原来有学生多少人？
【解析】这道题虽然只告诉了我们两个数的和，但是两数的差属于隐藏条件．由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，实际上甲校比乙校多
列式：乙：
【巩固】小华和小敏共有铅笔25枝，如果小华用去4枝，小敏用去3枝，那么小华还比小敏多2枝，小华和小敏原来各有多少枝铅笔？
【解析】如果小华用去4枝，小敏用去3枝，那么小华还比小敏多2枝，这就说明原来小华的铅笔比小敏的铅笔多3枝．找到了这个暗差，这道题就简单了．
方法一：小华：
方法二：小敏：
【例8】周明和王刚两人数学成绩的和是182分．周明如果多考5分，就比王刚多3分．周明和王刚的数学各考了多少分？
【解析】已知周明和王刚两人数学成绩的和是182分，根据条件“周明如果多考5分，就比王刚多3分“可知，王刚的数学成绩比周明多
方法一：王刚：
方法二：周明：
【巩固】有大、小两个油桶，一共装油24千克，两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克．问：原来大、 小两个油桶各装油多少千克？
【解析】两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克，那么也就是说大桶比小桶多4千克的油，知道这两桶油的和，又找到了这两桶油的差，这道题就变成了典型的和差问题的应用题了．
方法一：大桶：
方法二：小桶：
【例9】兔妈妈拔了29个萝卜分给了小白兔和小黑兔，因为分的萝卜不一样多，兔妈妈让小白兔给了小黑兔5个，这时再来数发现小黑兔比小白兔多出1个萝卜，你知道原来小白兔和小黑兔各分到了多少个萝卜吗？
【解析】这道题关键也是要找到暗差，小白兔给了小黑兔5个后，小黑兔又比小白兔多出1个萝卜，画图来分析，可以得出原来小白兔比小黑兔多
方法一：小白兔：
方法二：小黑兔：
【巩固】甲乙两个仓库共存大米56包，从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多了，甲、乙两个仓库原有大米各多少包？
【解析】乙比甲多
甲：
答：甲仓库有大米20包，乙仓库有大米36包．
【例10】甲校原来比乙校多
【解析】利用移多补少思想思考，
【巩固】两箱图书共有66本，甲箱如果借出10本，就比乙箱少4本．甲、乙两箱原有图书各多少本？
【解析】已知甲箱借出10本图书后，比乙箱少4本，可知甲箱原来比乙箱多
方法一：甲箱：
方法二：乙箱：
【巩固】方方和圆圆共有图书70本，如果方方给圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本．问：方方和圆圆原来各有图书多少本？
【解析】方方给圆圆5本后，圆圆比方方多4本．，那么芳芳比圆圆多
【例11】有三块布料一共190米，第二块比第一块长20米，第三块比第二块长30米．每块布料各长多少米？
【解析】先画线段图，从线段图可以看出，以第一块为标准，第二块减少20米，第三块减少
⑴ 第一块布料长度的3倍是：
⑵ 第一块布料的长度是：
⑶ 第二块布料的长度是：
⑷ 第三块布料的长度是：
【巩固】甲、乙、丙三个数的和是105，甲数比乙数多4，乙数比丙数多4，求丙数．
【解析】已知甲数比乙数多4，乙数比丙数多4，可求出甲数比丙数多
答：丙数是31。
【巩固】有3条绳子，共长95米，第一条比第二条长7米，第二条比第三条长8米，问3条绳子各长多少米？
【解析】以第一条绳子为标准，变化后的绳子总长 95-7＋8=96（米）
第二条绳长： 96÷（1＋1+1）=32（米）。
第一条绳长：32＋7=39（米）。
第三条绳长：32-8=24（米）.
【巩固】甲、乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？
【解析】甲、乙两校学生人数的和是864人，根据由甲校调入乙校32人，这样甲校比乙校还多48人可以知道，甲校比乙校多 32×2+48＝112（人）. 112是两校人数差。
①乙校原有的学生：（864-32×2-48）÷2＝376（人）
②甲校原有学生：864-376=488（人）
答：甲校原有学生488人，乙校原有学生376人。
【巩固】小猴和小熊到动物商店一共买了30块糖，小猴把买的糖给了小熊10块，还比小熊多2块．小熊比小猴少买几块糖？
【解析】一共买了30块糖是一个多余的条件，小猴把买的糖给了小熊10块，还比小熊多2块，说明小猴的糖比小熊一共多22块，可画图分析．
列式：
答：小熊比小猴少买22块糖．
【巩固】学而思学校新进99本书，分给三、四、五三个年级，三年级比四年级多分了2本，四年级比五年级多分了5本，三个年级各分得多少本书?
【解析】我们用图来表示题意：
五年级：[99－(2＋5)－5]÷3＝29(本)
四年级：29＋5＝34(本)
三年级：34＋2＝36(本)
【巩固】甲的书比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有书47本．问：甲、乙、丙各有多少本书？
【解析】和差问题是指两个数的和与差，现在出现了三个数，需要化为两个数的和差问题．因为“甲的书比乙多9本，比丙多2本”，说明乙的书比丙少
乙有书
丙有书
甲有书
答：甲有29本，乙有20本，丙有27本．
【巩固】二年级原来女同学比男同学多25人，今年二年级又增加了80个男同学和65个女同学，请问：现在是男同学多还是女同学多？多几人？
【解析】这道题有两种思维方法：
方法一：如果原来女同学与男同学人数同样多，那么增加后的人数男同学比女同学多
说明： 我们也可以这样思考：如果今年二年级增加的男同学人数和女同学人数同样多，都增加65人，那么女同学仍比男同学多25人，实际上男同学比女同学多增加了
列式：
方法二：我们先不看男同学的变化，先观察女同学的变化，二年级原来女同学比男同学多25人，今年二年级又增加了65个女同学，如果男同学人数不增加，女同学就要比男同学增加
列式：
答：现在女同学多，多10人．
【巩固】草地上有黑兔、白兔、灰兔共27只，黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只．黑兔、白兔、灰兔各有多少只？
【解析】画图分析：黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只，把黑兔比白兔多的，补到灰兔比白免少的部分，这样黑兔、白兔、灰兔共27只也可以看成是3倍白兔这么多，因此可以先求出白兔的只数．
列式：白兔：
【例12】大象、老虎、猴子三只动物的年龄中，大象和老虎共90岁，大象和猴子共70岁，老虎和猴子共40岁，请你算一算，三只动物各多少岁？
【解析】大象、老虎、猴子三只动物的年龄和：
大象的年龄：
老虎的年龄：
猴子的年龄：
答：大象60岁，老虎30岁，猴子10岁．
【巩固】小强、中强、大强去称体重，大强和小强一起称是50千克，小强和中强一起称是49千克，三个人一起称是76千克．三人的体重各是多少千克？
【解析】解答这道题，要用比较的方法，要抓住“三个人一起称76千克”这个重要条件．又知“大强和小强一起称50千克”，这样就可先求出中强的体重，或者根据“小强和中强一起称是49千克”可求出小强的体重．
方法一：中强的体重：
小强的体重：
大强的体重：
方法二：大强的体重：
小强的体重：
中强的体重：
答：小强23千克，大强27千克，中强26千克．
【例13】四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共多少人？
【解析】乙+丙+丁=131 甲+乙+丙=134，两式相加（甲+丁）+2（乙+丙）=265，而甲+丁=（乙+丙）+1 所以 3（乙+丙）=265-1，乙+丙=88，甲+丁=89
这四个班共有88+89=177人。
【巩固】甲乙共储蓄32元，乙丙共储蓄30元，甲丙共储蓄22元，三人各储蓄多少元?
【解析】甲乙+乙丙+甲丙=32+22+30=84(元) 即2倍的(甲+乙+丙)等于84元
甲+乙+丙=84÷2=42(元) 丙:42—32=10(元) 甲:42—30=12(元) 乙:42—22=20(元)
【巩固】大明、小荣、豆豆三个小朋友去称体重，大明和小荣一起称是55千克，大明和豆豆一起称是49千克，小荣和豆豆一起称是 56千克．三人的体重各是多少千克？
【解析】这道题是上一题的拓展，看起来无从下手，但是把50千克、49千克、61千克加起来，其实就是三个人体重的2倍，这样我们就可以先求出三个人的总重量，接下来的思路就跟例10一样了．
列式：三个人的总重量：
豆豆的体重：
小荣的体重：
大明的体重：
答：大明24千克，小荣31千克，豆豆25千克．
【例14】地震灾区希望小学正筹备建设图书馆，春蕾小学发动全校同学给山区的学生捐书，二（1）班、二（2）班、二（3）班三个班共捐书300本，二（1）班、二（2）班两个班捐书总数比二（3）班多60本，如果二（3）班拿出20本给二（2）班，则两个班捐书数目相等．求三个班各捐了多少本书？
二(3)班有书：
二(3)班比二(2)班多
二(2)班有书：
二(1)班有书：
方法二：如图，如果二（3）班拿出20本给二（2）班，则两个班捐书数目相等．那么二（3）班比二（2）班多
二(3)班比二(2)班多
二（2）班和二（3）班一共有书：
二（2）班有书：
二（3）班有书：
【例15】哥哥今年14岁，妹妹今年8岁，当兄妹俩岁数的和是42岁时，俩人各应该是多少岁？
【解析】由于“年龄差”不随年份的推移而变化，所以，兄妹的年龄差始终是
哥哥为
妹妹为
答：那时哥哥24岁，妹妹18岁．
【巩固】兄弟俩现在年龄和是28岁，3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁？
【解析】3年前哥哥比弟弟大2岁，现在哥哥仍比弟弟大2岁，他们的年龄差不变．
哥哥：
答：哥哥现在15岁，弟弟现在13岁．
【巩固】今年小玲6岁,她父亲34岁,当两人年龄和是58岁时,两人年龄各多少岁?
【解析】题中没有给出小玲和父亲的年龄之差,但是已知两人今年的年龄,那么两人的年龄差是34-6=28(岁),不论再过多少年,两人的年龄差是保持不变的,所以当两人年龄和为58岁时,他们的年龄差仍是28岁,根据和差问题就可解此题。
解: 1.父亲的年龄：〔58+(34-6)〕÷2=〔58+28〕÷2=86÷2=43(岁)
2.小玲的年龄：58-43=15(岁)
答:当两人年龄和为58岁时,父亲的年龄是43岁,小玲的年龄是15岁。
【巩固】今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？
【解析】题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.
爸爸的年龄：[58＋（35-7）]÷2=[58＋28]÷2=86÷2=43（岁）
小强的年龄：58-43＝15（岁）
答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。
【例16】小琴、小静、小莲三人年龄和是20岁，小琴比小静大1岁，小莲比小静小2岁．三人的年龄各是几岁？
【解析】以小静为标准，小琴比小静大1岁，小莲比小静小2岁，把小琴比小静大的1岁，补给小莲，那么小琴现在和小静一样大，而小莲比小静就只小1岁，如果再加上1岁，也和小静一样大．那么现在小静年龄的3倍就应该是
⑴ 小静年龄的3倍是：
⑵ 小静现在的年龄是：
⑶ 小琴现在的年龄是：
⑷ 小莲现在的年龄是：
【巩固】甲、乙两个笼子里共有小鸡20只,甲笼里新放4只,乙笼里取出1只,这时乙笼还比甲笼多1只,求甲、乙两笼原来各有鸡多少只?
【解析】这样想:已知甲、乙两个笼子里小鸡的和是20只,根据甲笼里放入4只,乙笼里取1只,还剩1只可知,甲、乙两个笼里小鸡只数相差:4+1+1=6(只)
解: 1.乙笼比甲笼多多少只？4+1+1=6(只)
2.甲笼原来有小鸡多少只? (20-6)÷2=14÷2=7(只)
3.乙笼里原来有小鸡多少只? 20-7=13(只)或(20+6)÷2=13(只)
答:甲笼里原有小鸡7只;乙笼里原有小鸡13只。
【例17】四（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多14张，小华得到的选票比小玲多8张。如果这3人共得选票54张，那么他们各得选票多少张？
【解析】小玲得到选票最少，我们以小玲得到选票张数为标准，画出线段图如下：
所以小玲获票张数：24÷3=8（张）；小华获票张数：8+8=16（张）；
小明获票张数：16+14=30（张）。
【例18】一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟。在同样的风速下，逆风跑70米也用了10秒钟。问在无风的时候他跑80米要用多少秒？
【解析】如果我们以无风时少年跑步速度为标准，在同样的风速下，顺风跑步速度高出标准的米数，与逆风跑步速度低于标准的米数是相等的，相当与风速。所以无风速度就是顺风速度和逆风速度的平均数。
解法一：先求出无风时少年速度：（90÷10+70÷10）÷2=8（米）。
再求出无风的时候该少年跑80米需要的时间：80÷8=10（秒）。
解法二：以10秒跑步路程为标准，该少年无风时10秒跑步路程为：
（90+70）÷2=80（米）。
所以，在无风的时候该跑80米要用10秒。
【例19】如右图，4个一样大的长方形和1个小正方形拼成了1个大正方形。大正方形的面积是64平方分米，小正方形的面积是4平方分米，问长方形的宽是几分米？
【解析】对64和4进行拆分：64=8×8；4=2×2。所以，大正方形的边长为8，即长方形长与宽的和为8；小正方形的边长为2，即长方形长和宽的差为2。所以，长方形的宽为：（8-2）÷2=3（分米）。
【例20】姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟，妹妹做算术、英语两门练习共用了44分钟，那么妹妹做英语练习用了多少分钟？
【解析】“姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟”，由此可以推出妹妹做算术练习比做英语练习少用时间：48-42=6（分钟）。
所以妹妹做英语练习的时间为：（44+6）÷2=25（分钟）。
【巩固】三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。
【解析】先将一、二两个小组作为一个整体，这样就可以利用基本和差问题公式得出第一、二两个小组的人数和，然后对第一、二两个组再作一次和差基本问题计算，就可以得出第一小组的人数。
一、二两个小组人数之和=（180+20）/2=100人，
第一小组的人数=（100-2）/2=49人。
【巩固】甲、乙两筐苹果，甲筐比乙筐多19千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克？
【解析】从甲筐取出放入乙筐，总数不变。甲筐原来比乙筐多19千克，后来比乙筐少3千克，也即对19千克进行重分配，甲筐得到的比乙筐少3千克。于是，问题就变成最基本的和差问题：和19千克，差3千克。（19+3）/2=11千克，从甲筐取出11千克放入乙筐，就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克。
【巩固】一个三层书架共放书108本．上层比中层多放11本，下层比中层少放5本，上、中、下三层各放书多少本?
【解析】 中：（108-11+5）÷3=34（本），上：34+11=45（本），下：34－5=29（本）。
评析：（1）此题用画线段图的方法会更直观，易懂。
（2）这道题原题的解法是先求中层的书，这样比较简单.为了更好的锻炼学生对这道题的理解，建议老师可以让学生自己练习先求上层的书的数量，或者先求下层书的数量。
（二）和倍问题
教学目标：
知识点说明：
和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．
解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。
和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作
和÷(倍数+
小数×倍数=大数 或 和一小数=大数
如果要求两个数的差，要先求
解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。
例题精讲：
【例 1】根据线段图列式：
爷爷：
【例 2】有两盘苹果，如果从第一盘中拿2个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同(条件A)；如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数是第二盘的2倍(条件B).第一盘有苹果多少个?
条件A的数量关系为：第一盘中的苹果数比第二盘多2+2=4(个).从条件B可知，如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里，那么第一盘就比第二盘多4+(2+2)=8(个)；此时，第一盘的苹果数是第二盘的2倍．
(1)原来第一盘比第二盘多：2+2=4(个)或2×2=4(个)
(2)从第二盘拿2个到第一盘里，第一盘就比第二盘多：4+(2+2)=8(个)或4+2×2=8(个)
(3)第二盘拿走2个后剩下的苹果：8÷(2-1)= 8(个)
(4)第一盘原有苹果：8×2-2=14(个)
答：第一盘有苹果14个．
【解析】 先求出长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米）把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应的就是3份，所以长方形的宽是：18÷（2+1）=6（厘米）
长是：6×2=12（厘米）这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米）
【巩固】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？
【解析】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5=15（千克）。
把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2+1）=5（千克）；
每箱苹果重量为：5×2=10（千克）。
【例 3】 师、徒两人共加工
甲组学生人数是乙组学生人数的3倍，则甲组学生人数的3倍就是乙组人数的（3×3=）9倍。
所以，乙组人数为：40÷（9-1）=5（人）；
参加义务劳动的学生共有：5×（1+3）=20（人）。
如果橘子重量增加3千克，正好是苹果重量的3倍，香蕉
的重量减少2千克，正好是苹果重量的2倍，这时三种水
果的总重量变为：53＋3－2＝54(千克)，正好是苹果重量
的(1＋3＋2)倍，苹果有 (53＋3－2)÷(1＋3＋2) ＝54÷6＝9(千克)，橘子有9×3－3＝24(千克) .
【例 4】实验小学三、四年级的同学们一共制作了
倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？
（法１）梨树：
（法２）梨树：
【例 5】果园里有梨树和苹果树共
（法１）梨树：
（法２）梨树：
天自学：
女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）
男生人数：200×3-40=560（人）或 760-200=560（人）
验算：560＋200=760（人）（560+40）÷200=3（倍）。
答：男生有560人，女生有200人。
8×2=16(张)……红纸盒里的彩票数 ；
16×2=32(张)……蓝纸盒里的彩票数。
【例 6】有
计算这六个数的总和是
【例 7】甲、乙、丙三个小朋友共有
方法二：如果丙吃掉
根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作
羽毛球有：
【例 8】甲、乙、丙三所小学的学生人数的总和为1999。已知甲校学生人数的2倍和乙校学生人数减去3人与丙校学生人数加上4人都相等。问甲、乙、丙各校学生人数是多少？
【解析】 把甲校学生人数作为标准，画出线段图：
把甲校人数看作1份，乙校人数就是2份多3，丙校就是2份少4。我们把乙校人数减去3，丙校人数加上4，都凑成2份，则总人数变成：1999-3+4=2000（人）。
所以甲校人数为：2000÷（1+2+2）=400（人）；
乙校人数为：400×2+3=803（人）；丙校人数为：400×2-4=796（人）。
甲比丙多分了3＋5＝8(块)．如果甲少拿7块，乙少拿5块，那么糖的总数就要减少8＋5＝13(块)，总共就是100－13＝87(块)．87块相当于丙所有的糖块数的3倍，由此可以算出甲乙丙三人各自糖块的数量．
[100－(3＋5)－5]÷3＝29(块)……………………………………．丙
29＋5＝34(块)………………………………………………乙
34＋3＝37(块)………………………………………………甲
(2346＋146＋88)÷2＝1290(人)………………实验二小
2346－1290＝1056(人)………………………实验一小
本题也可以用和倍方法解
【例 9】有
较大的
最大的一堆有：
次大的一堆有：
较小的
次小的一堆有：
最小的一堆有：
【巩固】 超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的3倍还多10颗．售货员将这些糖包装成相同的小袋，每袋内装了3颗巧克力糖和7颗水果糖．最后巧克力糖全部装完，水果糖还剩下170颗．请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？
【解析】 由题意，如果每袋里装3颗巧克力糖和9颗水果糖，则只剩下10颗水果糖；现在每袋里装了3颗巧克力糖和7颗水果糖，结果剩下了170颗水果糖．由此可以算出总的袋数为：
因此水果糖总数为
【解析】 由题意，乙、丙、丁三个班总人数为131人，甲、乙、丙三个班总人数为134人，于是可以看出，甲班比丁班多3个人．又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，也就是说乙、丙两班总人数是丁班的2倍还多2人．从而可以求出丁班的人数为：
因此这四个班的总人数为
【例 10】某日停电，房间里燃起了长、短两根蜡烛，它们燃烧速度是—样的．开始时长蜡烛是短蜡烛长度的
【解析】 我们要注意发掘题目中真正的不变量，实际上本题中两根蜡烛的长度差是不变的(因为两根蜡烛燃烧的速度一样)．所以我们根据题意可知：原长蜡烛长度
【解析】 两支蜡烛长度相同，一支可以维持
【例 11】某有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的
【例 12】爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头．父子二人发现，如果爸爸帮冬冬搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍；如果冬冬帮爸爸搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的2倍．请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？
【详解】 由题意，如果爸爸多搬10块，冬冬少搬10块那么爸爸搬的砖头数是冬冬的5倍；如果爸爸少搬10块，冬冬多搬10块，那么爸爸搬的砖头块数是冬冬的2倍．对于前一种情况，如果让爸爸再多搬100块，冬冬再多搬20块，那么爸爸搬的砖头块数仍然是冬冬的5倍，也就是说如果爸爸多搬110块，冬冬多搬10块，爸爸搬的砖头块数是冬冬的5倍．由以上的关系可以列式求出爸爸原计划搬的块数为：
冬冬原计划搬的块数为：
【例 13】一家汽车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售。福特汽车的数量是丰田汽车的3倍，如果每周销售2辆丰田汽车和4辆福特汽车，丰田汽车销售完时还剩下30辆福特汽车请问：原有丰田汽车和福特汽车各多少辆？
【例 14】果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？
梨树的棵数：（552＋20-12）÷（1＋1＋2）=560÷4=140（棵）
桃树的棵数：140×2＋12=292（棵）
苹果树的棵数： 140-20=120（棵）
答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。
【例 15】甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？
假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7
凑成3份，则这时候三个数的总和为：
183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。
所以，一份数即丙数为：180÷6=30；
乙数为：30×2-4=56；甲数为：30×3+7=97。
丙数是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）=549÷9=61
甲数是：61×2-2=120
乙数是：61×2＋2=124
丁数是：61×4=244
验算：120+124＋61+244=549120＋2=122 124-2=12261×2＝122 244÷2＝122
答：甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.
【例 16】大桶里有油60千克，小桶里有油30千克．将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下的油中，大桶是小桶的4倍．问两个桶各剩油多少千克？
卖出同样多的油，可知两个桶里所有油的差总保持不变，因此这是一个差倍问题．小桶所剩的油为１倍数，大桶剩油是小桶剩油的4倍，所以大桶剩油比小桶剩油多
设乙筐余下的千克数为1份，则甲筐余下的千克数为3份，甲、乙两筐余下的苹果相差
甲水池剩下的水：3800÷（4+1）=760（立方米）
甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米）
经过的时间（分钟）：1840÷23＝80（分钟）。
当甲桶油是乙桶油2倍时，乙桶油是：660÷（2+1）=220（千克）：
由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。
两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍．应该把变化后的第一根长度看作1倍，而
红花朵数为：300-110=190（朵）。
【例 17】学校买来一些乒乓球和羽毛球共
根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作
羽毛球有：
乙班：160÷（3+1）=40（本）
甲班：40×3=120（本）或 160-40=120（本）
验算：120＋40=160（本） 120÷40=3（倍）
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
甲、乙两班共有图书的本数是：30＋120=150（本）
甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：2＋1＝3（倍）
乙班现有的图书本数是：150÷3=50（本）
甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本）
综合算式：（30＋120）÷（2+1）=50（本）50-30=20（本）
验算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）（120-20）+（30+20）＝150 （本）答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。
【例 18】二⑴班的图书角里有故事书和连环画共
从线段图可以看出，如果故事书拿走
⑴如果故事书拿走
⑵现在连环画与故事书的倍数和为：
⑶连环画有：
⑷故事书有：
【例 19】盒子里有红球和白球若干，若每次从里面拿出1个红球和1个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球50个，若每次拿出1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，还剩下50个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？
“每次拿出1个红球和3个白球”两种球都不剩下，这样增加150个白球后，按照第一种取法，白球会剩下
方法二：用下图表示它们的关系：
把红球的数量减去50个看做“1倍量”，可以得到，“2倍量”的数量是（
【例 20】有5堆苹果，较小的3堆平均有18个苹果，较大的2堆，苹果数之差为5个；又较大的3堆平均有苹果26个，较小的2堆苹果之差为7个；最大堆与最小堆平均有22个苹果，问：各堆各有多少个苹果？
最大堆与最小堆平均22个，那么最大堆与最小堆一共有
所以，中间堆的数量是：
最大堆有苹果：
【例 21】有几个同学想称一下体重，可是秤的秤砣不齐，只能称50千克以上的重量，他们只好每人都和其他人合称一次，共得到以下10个数据（单位：千克）：75、78、79、80、81、82、83、84、86、88．问：⑴有几名同学？⑵他们的重量各是多少千克？
⑵设这5个同学的体重从小到大依次为
则有
则
即他们的体重分别为37千克、38千克、41千克、43千克、45千克．
【拓展】 有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3张．相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数．老师把这l2张卡片发给6名同学，每人得到两张颜色不同的卡片．然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和．六名同学交上来的答案分别为：92，125，133，147，158，191．老师看完6名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了．问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？
由取法可知，得到的六个和可以两两匹配，即
如果147是错误的，那么133是正确的，另一个正确的和数为
如果133是错误的，那么147是正确的，同样分析可知，此时四种颜色卡片上所写各数中最小数是35．
不难有
【例 22】某小学五年级和六年级参加创新杯数学邀请赛共有16人，其中：五年级的学生比六年级的学生多；六年级的男生比五年级的男生多；五年级的男生比五年级的女生多；六年级的女生至少有1人．那么六年级的男生有 人．
【例 23】学校买来篮球、足球、排球共个，其中篮球的个数是足球的
倍．排球比足球多
个．问学校买来的篮球、足球、排球各多少个？
从线段图上可以看出，把足球的个数看作
如果排球减少
足球多少个？
篮球多少个？
排球多少个？
苹果的重量是：
香蕉的重量是：
【例 24】 在一道减法算式中，已知被减数、减数、差的和是，而减数是差的
倍．求差是多少？
并认识它们之间的转化．
我们先看下面一道简单的减法算式：
被减数 减数 差
被减数、减数、差这三个数有下面的关系：
被减数=差+减数，如
这道题中，被减数、减数、差的和是
减数与差的和，这样题目就转化为：“已知减数与差的和
是
列式：减数与差的和是多少？
差是多少？
【巩固】 被除数、除数、商3个数的和是212。已知商是2，被除数和除数各是多少？
把除数看着1份，两数和对应的份数是3份，除数为：210÷（2+1）=70；
被除数为：70×2=140。
⑵白鸡多少只？
⑶黑鸡多少只？
⑷白鸡、黄鸡、黑鸡共多少只？
【例 25】 下面有三道加法题，当正方形、三角形、圆形各代表什么数时，才能使下面的等式成立?
□+□+△+〇=16 ① □+△+△+〇=13 ② □+△+〇+〇=11 ③
由①、②、③相加
4个□+4个△+4个〇=40
4×(□+△+〇)=40
得，□+△+〇=10 ④
由①-④得：□=16-10=6
由②-④得：△=13-10=3
由③-④得：〇=11-10=1
检验，将□=6，△=3，〇=1分别代入原等式①、②、③，三等式成立，说明求解正确．
【巩固】 用中国象棋的车、马、炮分别表示不同的自然数。如果，车÷马=2，炮÷车=4，炮-马=56，那么“车+马+炮”等于多少？
把马表示的数看作1份，车表示的数就是2份，炮表示的数就是4个2份，
所以，马表示的数为：56÷（2×4-1）=8。
“车+马+炮”等于：8×（1+2+2×4）=88。
（三）差倍问题
教学目标：
知识点说明：
差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．
差倍问题的特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。
解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量
差倍问题的基本关系式：
差÷(倍数－
解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系．
年龄问题的和差与差倍问题主要利用的年龄差不变。
板块一、差倍问题
【例 26】李爷爷家养的鸭比鹅多只，鸭的只数是鹅的
倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？
【例 2】某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多
【例 3】师、徒两人共加工
【例 4】甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
甲班的本数： 40×3=120（本）或40＋80=120（本）。
【例 27】有两根铁丝，第一根长
⑴如果故事书拿走
⑵现在连环画与故事书的倍数和为：
⑶连环画有：
⑷故事书有：
【例 28】有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？
第一根截去12米剩下的长度：（12+14）÷（3-1）＝13（米）
两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）
【解析】 甲船所载货物是乙船所载货物的3倍，乙船增加900吨，甲船就应增加900×3＝2700(吨)，实际少增加2700－1200＝1500(吨)．少增加的重量等于乙船现有货物的3－2＝1(倍)，所以甲船原载货物(1500－900)×3＝1800(吨)．
【例 29】某迎春茶话会上，买来苹果
【例 30】有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒
小云现有书：(20＋5＋11)÷(3-1)＝18(本)；小云原来有书18＋5＝23(本)，
小雨原来有书23＋20＝43(本).
后来三（1）班比三（2）班图书多多少本？74＋96=170（本）
三（2）班剩下的图书是多少本？170÷（3-1）=85（本）
三（2）班原有图书多少本？85＋96=181（本）（两个班原有图书一样多）
综合算式：（74＋96）÷（3-1）＋96＝170÷2+96＝85＋96=181（本）
【例 31】甲、乙俩人存款若干元，甲存款是乙存款的3倍．如果甲取出80元，乙存入20元，甲、乙的存款正好相等．问甲、乙俩人原来各存款多少元？
【例 32】(2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)兄妹俩人去买文具，哥哥带的钱是妹妹的两倍，哥哥用去180元，妹妹用去30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，哥哥带了________元钱，妹妹带了________元钱．
我们把几天后剩下的面粉重量看作1份，大米重量也就是3份，则几天后剩下面粉：44÷（3-1）=22（千克）。用掉的面粉总量除以每天用面粉数量，可以得出所求的天数：（94-22）÷9=8（天）。
【例 33】幼儿园大班每人发
【例 34】有两盘苹果，如果从第一盘中拿
【例 35】小新家有大小两个书架，大书架上的书的本数是小书架的3倍，如果从大书架上取走150本放到小书架上，那么 两个书架上的书一样多，大小书架上原来各有多少本书?
由于大书架上的书是小书架的3倍，把小书架上书的本数看做I倍量，大书架比小书架多300本对应于小书架的(3－1)倍量．
大书架比小书架多的书数： 150×2＝300(本)，
两个书架相差几倍： 3－1＝2倍，
小书架原有书： 300÷2＝150(本)，
大书架原有书： 150×3＝450(本)．
第二块布比第一块布多剩多少米？31-19＝12（米）
第一块布剩下多少米？12÷（4-1）=4（米）
第一块布原有多少米？4+31=35（米）（两块布原有长度相等）
综合列式：（31-19）÷（4-1）+31=12÷3+31=4＋31=35（米）
【例 36】学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多
【例 37】甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为
【解析】 由题意，现在的甲班比乙班多
【例 38】小明、小红、小玲共有
【例 39】小丸子家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只，白鸡的只数是黄鸡2倍，白鸡、黄鸡、黑鸡一共多少只？
【例 40】某养殖厂养鸡、鸭、鹅共1462只，鸡的只数比鸭的4倍多132只，鹅的只数比鸭的2倍少70只．这个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只？
鸭的只数：
鸡的只数：
鹅的只数：
【例 41】甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的3倍．那么甲、乙两个小朋友共有多少粒糖？
【例 42】在期末考试中，哥哥的数学成绩比语文高7分，弟弟的数学成绩是语文的
所以弟弟的语文成绩是98分．
【例 43】一小、二小两校春游的人数都是10的整数倍，出行时两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满．现在知道，若两校都租用14座的旅游车，则两校共需租用这种车72辆；若两校都租用19座的旅游车，则二小要比一小多租用这种车7辆．问两校参加这次春游的人数各是多少？
【解析】 根据题意可知，两校总人数不少于
由于二小比一小多租用7辆19座的旅游车，所以二小与一小的人数之差不小于
如果总人数为1000人，两校人数之差：
如为120，则一小有
如为130，则一小有
如为140，则一小有
如为150，则一小有
检验可知一小430人、二小570人符合题意．
如果总人数为990人，同样检验两校人数之差分别为120、130、140、150的情况，可知都没有符合条件的答案．
所以这次春游人数一小是430人，二小是570人．
板块二、年龄问题的和差与差倍
【例 44】爸爸妈妈现在的年龄和是
爸爸的年龄：
妈妈的年龄：
【例 45】爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；六年后，爸爸比妈妈大4岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？
所以，爸爸的年龄是38岁，妈妈的年龄是34岁.
【例 46】姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，几年后姐弟俩岁数和是40岁？姐姐到时多少岁了？
用线段图显示数量关系.姐弟俩的年龄差总是
【例 47】新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微.老将说：“我比你大10岁.”新手说：“上次你比我大一倍.”运动会四年开一次，两人年龄各几岁？
大家还记得年龄问题的基本关系吗？
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄
几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差
那么上面的这道题解法是：新运动员：
【例 48】兄弟俩今年的年龄和是30岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半．问：哥哥今年几岁？
